Théorie des lignes de transmission : observation du coefficient de réflexion et de l'onde stationnaire

Jul 29, 2023

Différents types de vagues dans la nature se comportent fondamentalement de la même manière. Comme une voix qui résonne sur une falaise, les ondes électriques se réfléchissent lorsqu'elles rencontrent un changement dans l'impédance du milieu dans lequel elles se déplacent. La réflexion des ondes peut conduire à un phénomène intéressant appelé onde stationnaire. Les ondes stationnaires sont essentielles à la manière dont la plupart des instruments de musique produisent du son. Par exemple, les instruments à cordes ne fonctionneraient pas sans la prévisibilité et les effets d’amplification des ondes stationnaires.

Cependant, dans la conception RF, les ondes stationnaires ne sont pas souhaitables lorsque l’on vise à transférer la puissance d’un bloc au suivant dans la chaîne de signaux. En fait, les ondes stationnaires peuvent affecter les performances de différents systèmes RF et micro-ondes, des chambres anéchoïques aux appareils quotidiens tels que les fours à micro-ondes.

Même si les concepts de propagation et de réflexion des ondes ne sont pas très compliqués, ils peuvent paraître un peu déroutants au début. La meilleure façon de visualiser comment les ondes se propagent et se reflètent sur une discontinuité est de tracer les équations des ondes pour différentes configurations.

Dans cet article, nous allons d'abord dériver les équations requises et les utiliser pour expliquer le phénomène des ondes stationnaires à travers plusieurs exemples de formes d'onde.

Tout d’abord, dérivons nos équations. Je sais que c'est ennuyeux, mais ils nous aident vraiment à comprendre comment les ondes se propagent et interagissent les unes avec les autres sur une ligne de transmission. Dans l’article précédent de cette série, nous avons examiné la réponse sinusoïdale en régime permanent d’une ligne de transmission et en avons dérivé les équations de tension et de courant. En appliquant vs(t) = Vscos(ωt) à une ligne, les ondes de tension et de courant sont :

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

Où:

Ces équations correspondent à la configuration illustrée sur la figure 1 (a), où la direction positive de l'axe des x est choisie pour aller de la source à la charge. Si nous représentons ces ondes avec leurs phaseurs, l'onde se déplaçant vers l'avant (ou incidente) et les ondes de tension se déplaçant vers l'arrière (ou réfléchies) seront respectivement Ae-jβx et Bejβx, comme le montre la figure 1 (a).

Concernant les problèmes de ligne de transmission, il est généralement plus pratique de choisir la direction de l’axe positif depuis la charge vers la source, comme le montre la figure 1(b). Pour trouver les nouvelles équations, nous devons remplacer x dans les équations originales par ld. Telle qu'exprimée dans la nouvelle variable d, l'onde se déplaçant vers l'avant devient :

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

Où A1 = Ae-jβl est une nouvelle constante. À partir de là, vous pouvez vérifier que, dans le nouveau système de coordonnées, l’onde réfléchie est B1e-jβd, où B1 = Bejβl. Par conséquent, les phaseurs de tension et de courant totaux sont présentés dans les équations 1 et 2.

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\]

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

Ces équations facilitent l'examen de l'effet de la charge sur la réflexion des ondes car, dans ce cas, la charge est à d = 0, ce qui simplifie les équations. En supposant d = 0, les équations suivantes sont obtenues du côté charge, comme le montrent les équations 3 et 4.

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

Par exemple, considérons le cas où la ligne se termine en circuit ouvert. Avec la sortie en circuit ouvert (ZL = ∞), le courant de sortie est évidemment nul. D'après l'équation 4, nous avons A1 = B1, et donc la tension totale est V(d = 0) = 2A1.

Par conséquent, pour une ligne en circuit ouvert, la tension réfléchie est égale à la tension incidente à la sortie, et la tension totale en ce point est le double de la tension incidente. De même, nous pouvons utiliser les équations 3 et 4 pour trouver le rapport entre l’onde réfléchie et l’onde incidente pour une impédance de charge arbitraire ZL. Ce rapport est un paramètre important appelé coefficient de réflexion, que nous aborderons sous peu.

À l'aide des équations 1 et 2, nous pouvons trouver le rapport tension/courant (c'est-à-dire l'impédance d'entrée de la ligne de transmission) en différents points le long de la ligne. Cela conduit à l’équation 5.